2025-04-20 09:09:01
精选答案
一般地，我们有 。
因为不等式左边可以在复数域上因式分解：加一起得到：是共轭复数的乘积，大于等于 。不等式取等号当且仅当 和 都等于 。这两个方程分别对应（复射影平面上的）一个二次曲线，一般来说有四个公共点。为了进一步确定取等条件，我们作换元 ，，。利用等式我们得到：和 。设 ，我们有 和 。（， 时，。取等条件 或 ，即 或 。）若 ，则 。此时 。若 ，则 。此时 ，。由此可得。题目中的不等式即 ， 的情形。此时可取 ，。虽然看起来形式差距较大，但是我们有 ， 和 。这可由比较等式两边分别满足的三次方程获得证明（还需验证次序）。最后说一下， 形式的取等条件并不是那么的“反常”。常见的取等条件 和 可看作其特例。反过来任何一组 也可以用这个方法求出对应的四次不等式。
2025-04-20 09:09:01
其他答案
在能判断的时候都可以说。根据之后要证明的事判断是否有必要强调这个充要条件。通常是有必要的，比如问a^2+b^2和2ab哪个大，如果只说前者大于等于后者，那么听答案的人在逻辑上很自然就有一个极端的想法：“会不会永远等于”。如果加一句当且仅当blabla。。。，普通人就不再深究了。
完全没必要讲充要条件的时候通常是问题比较一目了然的时候，比如x>=1, y<=1，问x大还是y大，就不用强调两者相等当且仅当x=y=1。如何判断，则需要多练习，多从极端的角度反驳自己。
