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在初中数学中，等比例（比例关系）是解决实际问题的重要工具。以下是关于等比例的基本概念、公式推导及应用方法：
一、等比例的基本概念
等比例表示两个比相等的式子，通常写作 $a : b = c : d$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 四个量满足 $frac{a}{b} = frac{c}{d}$。例如，若 $2 : 3 = 4 : 6$，则 $frac{2}{3} = frac{4}{6}$。
二、等比例的性质与公式
- 交叉相乘：
若 $a : b = c : d$，则 $a cdot d = b cdot c$
- 等比中项：若 $a : b = b : c$，则 $b^2 = a cdot c$
- 解比例问题：
通过交叉相乘将比例式转化为方程求解。例如，若 $frac{x}{2} = frac{4}{5}$，则 $5x = 8$，解得 $x = frac{8}{5}$
- 等比数列通项公式：若首项为 $a_1$，公比为 $q$，则第 $n$ 项 $a_n = a_1 cdot q^{n-1}$
- 等比数列前 $n$ 项和公式：
$$
S_n = begin{cases}
n cdot a_1 & (q=1)
frac{a_1 cdot (q^n - 1)}{q - 1} & (q neq 1)
end{cases}
$$
三、典型应用示例
几何问题
若一个长方形的长与宽之比为 $3 : 2$，长增加 4 厘米后，宽增加 2 厘米，仍保持比例关系。设原长为 $3x$ 厘米，宽为 $2x$ 厘米，则 $frac{3x + 4}{2x + 2} = frac{3}{2}$，解得 $x = 2$，原长为 6 厘米，宽为 4 厘米。
物理应用
若物体做匀速直线运动，速度与时间成反比。设速度为 $v$，时间为 $t$，则 $v cdot t = k$（常数）。若 $t_1 = 2$ 秒时，$v_1 = 3$ m/s，则 $k = 6$，当 $t_2 = 3$ 秒时，$v_2 = 2$ m/s。
四、注意事项
等比例公式需注意分母不为零，例如在等比数列求和中，公比 $q neq 1$
实际问题中需结合图形或物理情境建立比例关系，避免混淆
通过掌握交叉相乘、等比数列公式及应用技巧，可有效解决初中阶段的等比例问题。
