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初中阶段推导点到直线的距离公式，通常采用向量投影法，结合几何直观和代数运算。以下是具体步骤和说明：
一、公式推导步骤
设直线方程为 $ax + by + c = 0$，点 $P（x_0, y_0）$ 到直线的距离为 $d$。
引入法向量
直线的法向量 $mathbf{n} = （a, b）$，点 $P$ 到直线的距离等于向量 $mathbf{P} = （x_0, y_0）$ 在法向量 $mathbf{n}$ 上的投影长度。
计算投影长度
向量 $mathbf{P}$ 在 $mathbf{n}$ 上的投影长度为 $frac{mathbf{P} cdot mathbf{n}}{|mathbf{n}|}$，其中 $mathbf{P} cdot mathbf{n} = ax_0 + by_0$，$|mathbf{n}| = sqrt{a^2 + b^2}$。
得出距离公式
将投影长度代入公式，得到：
$$
d = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}
$$
该公式通过几何意义和代数运算结合，适用于平面内任意一点到直线的距离计算。
二、几何解释
垂线段最短： 点到直线的距离定义为该点到直线的垂线段长度，通过向量投影法将几何问题转化为代数计算。 公式验证
三、应用场景
该公式可解决实际问题，如计算点到道路、河流等场景的垂直距离，或用于几何证明和解析几何问题。
四、注意事项
公式要求直线方程为标准形式 $ax + by + c = 0$，若方程形式不同需先化为标准形式。
当直线垂直于坐标轴时，公式依然适用，但需注意斜率不存在的情况。
通过向量投影法，初中生可以系统理解点到直线距离的推导过程，并掌握其应用方法。
