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证明向量平行的方法主要有以下两种形式，适用于初中阶段的学习：
一、定义法（存在实数λ）
若存在一个非零实数λ，使得向量$mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，则向量$mathbf{a}$与向量$mathbf{b}$平行。
证明步骤：
1. 假设$mathbf{a} = （x_1, y_1）$，$mathbf{b} = （x_2, y_2）$。
2. 若$mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，则$（x_1, y_1） = lambda （x_2, y_2）$，即$x_1 = lambda x_2$且$y_1 = lambda y_2$。
3. 若$lambda > 0$，则$mathbf{a}$与$mathbf{b}$方向相同；若$lambda < 0$，则方向相反。
二、坐标法（行列式法）
若向量$mathbf{a} = （x_1, y_1）$，$mathbf{b} = （x_2, y_2）$，则$mathbf{a} parallel mathbf{b}$的充要条件是$x_1 y_2 = x_2 y_1$。
证明步骤：
1. 向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$平行当且仅当存在实数$lambda$，使$mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，即$x_1 = lambda x_2$且$y_1 = lambda y_2$。
2. 将上述等式变形为$frac{x_1}{x_2} = frac{y_1}{y_2} = lambda$（需注意$x_2 neq 0$且$y_2 neq 0$）。
3. 交叉相乘得到$x_1 y_2 = x_2 y_1$。
三、方向向量法（适用于三维向量）
若向量$mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）$，$mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）$，则$mathbf{a} parallel mathbf{b}$当且仅当$frac{a_1}{|a|} = frac{b_1}{|b|}$或$frac{a_1}{|a|} = -frac{b_1}{|b|}$。
证明步骤：
1. 向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的方向向量分别为$mathbf{a}' = left（frac{a_1}{|a|}, frac{a_2}{|a|}, frac{a_3}{|a|}right）$和$mathbf{b}' = left（frac{b_1}{|b|}, frac{b_2}{|b|}, frac{b_3}{|b|}right）$。
2. 若$mathbf{a}'$和$mathbf{b}'$方向相同或相反，则存在实数$k$，使$mathbf{a}' = k mathbf{b}'$，即$a_1 = k b_1$，$a_2 = k b_2$，$a_3 = k b_3$。
总结
初中阶段证明向量平行主要使用定义法和坐标法。定义法侧重向量的线性关系，坐标法则通过代数条件判断。方向向量法适用于三维向量的证明，但初中阶段较少涉及。
