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初中证明圆的切线主要有以下两种方法，结合具体题目灵活运用：
一、定义法（直线与圆只有一个公共点）
通过联立直线方程与圆的方程，判断判别式$Delta = 0$，或利用几何方法（如垂直距离公式）证明直线与圆相切。
已知直线$y = kx + b$与圆$（x - a）^2 + （y - c）^2 = r^2$相切，联立方程后令$Delta = 0$，可求出$k$和$b$的关系。
二、判定定理法（圆心到直线的距离等于半径）
方法一：半径垂直法
- 连接圆心与切点，证明半径与直线垂直（如通过证明夹角为$90^circ$）。
- 示例：已知$AB$是圆$O$的直径，$P$是圆上一点，若$OP perp PQ$，则$PQ$是切线。
方法二：距离公式法
- 计算圆心到直线的距离$d$，若$d = r$，则直线是切线。
- 示例：圆心$O（0,0）$到直线$Ax + By + C = 0$的距离$d = frac{|C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$，令其等于半径$r$。
三、辅助线添加技巧
连半径
当已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，利用半径与切线垂直的性质。
作垂线
当直线与圆无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。
四、典型证明题步骤
例题：
已知$AB$是圆$O$的直径，$C$是圆上一点，$OD perp BC$于$D$，过$C$作$OE perp OD$交$OD$延长线于$E$，连接$BE$，证明$BE$是圆$O$的切线。
证明步骤
1. 连接$OC$，$BE$。
2. 因为$AB$是直径，所以$angle ACB = 90^circ$。
3. 又$OD perp BC$，所以$D$是$BC$中点。
4. 由$OE perp OD$，可得$angle DOE = 90^circ$。
5. 证明$triangle OCE cong triangle OBD$（SAS），得$OC = OB$且$angle OCE = angle OBD$。
6. 因为$angle OBD = 90^circ$，所以$angle OCE = 90^circ$，即$BE$是切线。
总结
证明圆的切线需结合定义、判定定理及辅助线技巧。定义法适用于直接证明唯一交点，判定定理法需计算距离或证明垂直关系。通过大量练习，可熟练掌握各种证明方法。
