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初中推导中点坐标公式可以通过几何和代数两种方法进行，以下是详细步骤：
一、几何法（利用向量或平行四边形性质）
向量法
设两点$A（x_1, y_1）$和$B（x_2, y_2）$，中点为$M（x, y）$。根据中点定义，$M$将线段$AB$分为两段等长的向量$overrightarrow{AM}$和$overrightarrow{MB}$。 因为$overrightarrow{AM} = overrightarrow{MB}$，所以有：
$$
(x - x_1, y - y_1) = (x_2 - x, y_2 - y)
$$
分别比较横纵坐标，得到：
$$
x - x_1 = x_2 - x quad Rightarrow quad 2x = x_1 + x_2 quad Rightarrow quad x = frac{x_1 + x_2}{2}
$$
$$
y - y_1 = y_2 - y quad Rightarrow quad 2y = y_1 + y_2 quad Rightarrow quad y = frac{y_1 + y_2}{2}
$$
因此，中点坐标为$left（frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2}right）$。
平行四边形法
过$A$作平行于$y$轴的直线，过$B$作平行于$x$轴的直线，两线交于点$C（x_2, y_1）$。连接$AC$和$BC$，则四边形$PMCN$为矩形（对角线相等且平行）。 设中点$P（x, y）$，则$PM perp AC$且$PN perp BC$，根据中点性质：
$$
x = frac{x_1 + x_2}{2}, quad y = frac{y_1 + y_2}{2}
$$。
二、代数法（利用距离公式）
设中点坐标
设中点为$M（x, y）$，根据中点定义，$M$到$A$和$B$的距离相等：
$$
sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}
$$
两边平方后整理，得到：
$$
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2
$$
展开并化简，最终得到：
$$
2(x_1y_2 - x_2y_1) = 2(x_1x_2 - x_2x_1) quad Rightarrow quad x = frac{x_1 + x_2}{2}
$$
类似地，可推导出：
$$
y = frac{y_1 + y_2}{2}
$$。
三、注意事项
该公式适用于平面直角坐标系中的任意两点，无论其位置关系如何。
推导过程中需注意等式两边平方可能引入增根，但在此几何情境下不会影响结果。
通过以上方法，初中生可以系统理解中点坐标的几何意义和代数推导过程。
