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求极值点是高等数学中的重要内容，以下是具体步骤和技巧的总结，适用于专升本数学学习：
一、求导数
求出函数 $f（x）$ 的一阶导数 $f'（x）$，导数为零的点称为驻点，可能是极值点。
若一阶导数在某点处为零，需通过二阶导数 $f''（x）$ 判断极值类型：
- $f''（x） > 0$：极小值点
- $f''（x） < 0$：极大值点
- $f''（x） = 0$：需进一步分析（如二阶导数不存在或更高阶导数测试）
二、解方程 $f'（x） = 0$
解方程 $f'（x） = 0$，得到所有可能的极值点。
若函数为分段函数，需在每个分段上重复上述步骤。
三、符号判断
在每个驻点 $x_0$ 处，检查 $f'（x）$ 左右两侧的符号：
- 左侧导数为正，右侧导数为负：极大值点
- 左侧导数为负，右侧导数为正：极小值点
- 符号不变：非极值点。
若 $f''（x_0） neq 0$，可直接判断：
- $f''（x_0） > 0$：极小值点
- $f''（x_0） < 0$：极大值点。
四、特殊点处理
若 $f'（x）$ 在某点不存在（如分母为零），该点也可能是极值点。
对于闭区间 $[a, b]$，需计算端点 $f（a）$ 和 $f（b）$ 的值，并与驻点处的函数值比较。
五、验证极值点
将驻点代入原函数 $f（x）$，确认是否为极值点。
若涉及实际应用（如几何最值），需结合问题背景验证解的合理性。
示例
以 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x$ 为例：
1. 求导数：$f'（x） = 3x^2 - 6x + 2$。
2. 解方程：$3x^2 - 6x + 2 = 0$，得 $x = 1 pm frac{sqrt{3}}{3}$。
3. 判断符号：在 $x = 1 - frac{sqrt{3}}{3}$ 左侧导数为正，右侧为负，为极大值点；在 $x = 1 + frac{sqrt{3}}{3}$ 左侧为负，右侧为正，为极小值点。
通过以上步骤，可系统地求解函数极值点，并结合实际问题进行验证。
