2025-04-01 13:42:39
精选答案
正态分布的公式是由高斯（Gauss）在18世纪末推导出来的。
他研究了一些物理量的实验数据，例如星体的误差、重复实验的误差等等，发现这些数据呈现出一种特殊的概率分布，这种分布具有中心对称性，也就是说，数据的均值会集中在一个中心值周围，并向两侧逐渐减少。在这种分布中，绝大部分的数据都集中在中心值附近，只有极少数的数据分布在较远的位置上。高斯通过一系列的推导和计算，最终得出了正态分布的公式。这个公式描述了这种分布的概率密度函数，也就是说，它描述了在这种分布中各个数据点的出现概率。正态分布的公式是：$f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$其中，$f(x)$表示在给定$x$的情况下，该数据点的概率密度；$mu$表示分布的均值；$sigma$表示分布的标准差。这个公式中的$e$指数函数表示了数据点在均值附近出现的概率，而标准差则影响了数据点的分布范围和分布密度。
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其他答案
正态分布公式是通过概率密度函数的形式来定义的。其推导过程如下：
1. 假设有一组独立同分布的随机变量 $X_1,X_2,
cdots,X_n$，它们的均值为 $
mu$，方差为 $
sigma^2$。
2. 定义随机变量 $Z$ 为标准正态分布变量，即 $Z =
frac{X-
mu}{
sigma}$，其中 $X$ 是随机变量 $X_1,X_2,
cdots,X_n$ 的均值。
3. 由于标准正态分布的概率密度函数已知，我们可以推导出 $X$ 的概率密度函数。具体地，我们可以使用变量替换法（或者说“雅可比变换法”）来进行推导，得到：
$$
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其他答案
正态分布公式是通过数学推导得出的。
以下是其中一个推导过程：
假设一个随机变量X服从正态分布，那么它的概率密度函数可以表示为：
$f(x)=
frac{1}{
sqrt{2
pi}
sigma}e^{-
frac{(x-
mu)^2}{2
sigma^2}}$
其中，$
mu$是该分布的均值，$
sigma$是标准差。
我们可以将概率密度函数表示为：
$f(x)=
frac{1}{
sqrt{2
pi}
sigma}e^{-
frac{(x-
mu)^2}{2
sigma^2}} =
frac{1}{
sqrt{2
pi}
sigma}e^{-
frac{1}{2}
left(
frac{x-
mu}{
sigma}
right)^2} $
这里我们使用了一个常数：
$
frac{1}{
sqrt{2
pi}}=
int_{-
infty}^{
infty}e^{-
frac{1}{2}x^2}dx$
现在考虑将$
frac{x-
mu}{
sigma}$标准化，即令：
$Z=
frac{x-
mu}{
sigma}$
那么，$x=
sigma Z +
mu$，我们将其代入上面的概率密度函数中，得到：
$f(x)=
frac{1}{
sqrt{2
pi}
sigma}e^{-
frac{(x-
mu)^2}{2
sigma^2}} =
frac{1}{
sqrt{2
pi}}e^{-
frac{1}{2}Z^2}$
这个方程就是标准正态分布的概率密度函数。
