2025-04-18 00:23:40
精选答案
条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。
对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。比如线性方程组〔1 2 [x = [4 3.999 1] y] 7.999]的解是(x,y)=(2,1),而〔1 2 [x = [4.001 3.999 1] y] 7.998]的解是(x,y)=(-3.999,4.000)可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。
2025-04-18 00:23:40
其他答案
离散矩阵的条件数是一个衡量矩阵相对稳定性和数值敏感度的重要指标。它是矩阵的范数与其逆矩阵范数的乘积，用来衡量由于输入数据微小变化而引起输出结果的变化程度。条件数越大，矩阵就越不稳定，意味着输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化，反之亦然。因此，条件数越小，矩阵在数值计算中更加稳定可靠。计算机科学和数值计算领域常用条件数来评估算法的稳定性，选择合适的数值方法以避免数值不稳定性带来的问题。
